Matemáticas actuariales - Teórico-Práctico

Contenido teórico del curso.
Material teórico de la FCEA de la Udela R.
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Seguros de vida

El cálculo actuarial estudia, entre otras cosas, el costo de los seguros de vida y muerte de personas.

Los seguros de vida pueden tener múltiples coberturas relacionadas con la muerte, invalidez, enfermedades, etc.

Estos seguros dependen de la edad y sexo.

Existen diferentes formas de contratación:

Temporal renovable: llamado también como de índice renovable o crecimiento sistemático dice que la prima crece a medida que la edad aumenta.

Temporal- prima nivelada: En toda la vigencia existe una sola prima

Amortización: Prima única (todo de una vez) o con prima periódica

¿Qué elementos influyen en la valoración del riesgo?

Salud, profesión del asegurado, deportes que practica.

Para contratar seguros de vida son necesarias pruebas y declaraciones juradas y estimaciones de riesgos porque generan exclusiones o sobreprimas.

Exclusiones operan cuando los factores de riesgo son superiores a los normales o cuando se alteran las reglas de la normalidad, por ejemplo enfermedades graves no declaradas o situaciones como suicidios, muerte del asegurado por parte del beneficiario, conflictos armados, catástrofes o calamidades nacionales, o riesgos extraordinarios asegurables por otros seguros.

Las sobreprimas surgen cuando el asegurado está expuesto a riesgos mayores a causa de su profesión.

Tablas de mortalidad

Tablas de Mortalidad

Es una tabla donde se estudia una población o grupo hipotético de personas que tienen un comportamiento parecido a una población real basado en experiencias pasadas.

Se basan en poblaciones numerosas.

Es un modelo determinístico (no probabilístico) en el cual se asume que lo que ya pasó, volverá a pasar de la misma manera en el futuro.

En las tablas están las edades de las personas, las personas que sobreviven a una edad y las que mueren a esa misma edad. También está contenido en esta tabla una derivación de lo anterior que es la probabilidad de vida y de muerte para cada edad.

Signos, códigos y significados

X es la edad de la persona asegurada que puede ser desde 0 a w

L0 es el número de recién nacidos

w es el límite de supervivencia

Lx es el número de sobrevivientes a la edad x

Dx es el número de fallecidos a la edad x = lx – lx+1

F(x) es la función de distribución

Ejercicio:

Representar la probabilidad de fallecimiento de un recién nacido entre 15 y 20 años

F(15)-F(20) = p(15<= E <=20)

S(x) es la función de supervivencia

S(x) = 1 – F(x)

F(15)-F(20) = S(15)-S(20)

S(x) = lx/l0

Probabilidad condicional = F(15)-F(20)/(1-F(20))

Una tabla de mortalidad está compuesta por un conjunto de funciones biométricas, de las cuales nos interesan las de vida lx y de muerte dx (que surge de la anterior). En realidad existe una sola tabla de la cual se deduce la otra.

Tablas de mortalidad masculinas

Tabla de mortalidad femenina

Nociones básicas de Matemática Financiera: interés simple e Interés compuesto

Existe material teórico práctico en el siguiente link que pertenece a la Facultad de Ciencias Económicas y de Administración de la UdelaR: Ver aqui
o utilizar esta dirección URL:
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Los contenidos más importantes son hasta la página 14.

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Ejercicios prácticos sobre el tema: click aqui Ejercicios del (1 al 19)

Definiciones estadísticas

Definiciones:
Una variable es algo que está sujeto a cambio.

Una variable es cualiativa cuando no se pueden medir con números. (Ejemplo: estado civil, color, letras, etc.)

Una variable es cuantitativa si se puede medir:
Tipos de variables estadísticas cuantitativas: Variables discretas y Continuas.
     Discretas: toma un número finito de valores (para nuestros cálculos estadísticos se toman los valores observados para hacer sus cálculos)
     Continuas: toman un número infinito de valores (para los cálculos estadísticos se toman intervalos)

Media aritmética =  es el promedio, es el valor obtenido al sumar los datos y dividirlos por los casos totales.

      Por ejemplo tengo los siguienres datos: 15, 16, 14, 15, 17.
      La media es la 15,4 = (15+16+14+15+17)/5

Mediana = Me = es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando estos están ordenados.

      Por ejemplo tengo los siguientes datos ordenados: 14, 15, 15, 16, 17, la mediana Me=15

Moda = Mo = es el valor o valores que más se repiten.
      En el ejemplo anterior es 15, que aparece dos veces.

      Si hablamos del siguiente ejemplo: 12,13,13,14,15,15,16, se repiten dos veces el 13 y 15, por lo tanto es una distribución bimodal.
Si apareciera más de dos veces el multimodal.

Ejercicios:
1) Calcular la media, mediana y moda de los siguientes valores observados en una muestra:
1,1,2,3,4,5,5,5,3,4,7,2,3,4,2

2) Calcular la media de la siguiente muestra:
X1 = 2, X2= 3, X3= 4, X4= 7; X5= 8, X6= 9

Ejercicios sobre frecuencias absolutas, relativas, media, moda y mediana

Ejercicios con variables discretas:

1.        Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11, 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40.

Se pide:

Construir la tabla de distribución de frecuencias.

2.        El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Se pide:

Construir la tabla de distribución de frecuencias.

3.        En una encuesta a  habitantes de un supermercado sobre cuántas veces a la semana compran en pequeños comercios de la ciudad, las respuestas obtenidas son: 2,0,3,2,2,0,3,0,1,1,2,1,0,3,4,1,2,2,4,5

Se pide:

Construir una tabla de frecuencias y calcula qué porcentaje de los habitantes hace 3 o menos compras a la semana.

4.        Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

Se pide:

Calcular las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

Ejercicios con variables continuas:

5.      Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso             fi

[50, 60)         8

[60, 70)       10

[70, 80)       16

[80,90)        14

[90, 100)     10

[100, 110)     5

[110, 120)     2

Se pide:

Construir la tabla de frecuencias.

6.        Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla:

Nº de

caries            fi              ni

0                     25           0.25

1                     20           0.2

2                     x              z

3                     15           0.15

4                     y              0.05

Se pide:

Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

7.        Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xi	fi	Fi	ni
1	4		0.08
2	4
3		16	0.16
4	7		0.14
5	5	28
6		38
7	7	45
8

8.        Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

Se pide:

Calcular la amplitud de los intervalos y construya la tabla de frecuencias y su media

9.        Calcular la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

10.     Calcular la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

11.     Hallar la mediana de la siguientes series de números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

12.     Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. 
Se pide: Calcular su media.

13.     Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi             61           64           67           70           73

fi              5             18           42           27           8

14.     Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

                fi

[10, 15)  3

[15, 20)  5

[20, 25)  7

[25, 30)  4

[30, 35)  2

15.     Calcular la media de la distribución estadística:

                fi

[0, 5)       3

[5, 10)    5

[10, 15)  7

[15, 20)  8

[20, 25)  2

[25, ∞)   6

Frecuencias absolutas, relativas y acumuladas

A través de estos videos se hacen unas explicaciones a través de ejercicios prácticos de los diferentes conceptos de diferencia absoluta, frecuencia acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.

Definiciones:

• Frecuencia absoluta: el número de veces que aparece un valor. Se representa con fi donde el subíndice i representa cada uno de los valores de f. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, representado por N.
• Frecuencia relativa: el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de datos, se representa por fi/N=ni. La suma de la frecuencias relativas es igual a 1. Lo cual puede verse fácilmente si se factoriza o sea, se suman todas las frecuencias relativas.
• Frecuencia acumulada: la suma de frecuencias absolutas de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado, se representa por Fi.
• Frecuencia relativa acumulada: el resultado de dividir la frecuencia acumulada entre el número total de datos, se representa por Fi/N.

Cuando se trata de acumuladas las letras que las representan están en mayúscula.

Ejemplo.

Variables en intervalos